Sunday, December 6, 2015

Macbeth, la nueva versión cinematográfica que es una joya verdaderamente shakespeariana.



Entrado en reseñas, ahora escribo la de una joya cinematográfica que ha llegado a nosotros desde Australia, considerando que ese es el país de origen del joven director Justin Kurzel. Esta es su segunda película (habiendo participado anteriormente en una recopilación de cortos después de su ópera prima Snowtown), y esperaremos con ansia la siguiente. El reto era enorme: poner en el cine una de las más grandes tragedias de Shakespeare, sin caer en los diversos caminos zurcados por directores como Kurosawa o Polanski, y por actores como Orson Welles, Patrick Stewart o Ian McKellen. Una vez caída en esos enormes zurcos, la comparación estaría prácticamente perdida. Pero en cambio, tenemos una versión original, sólida, a la altura de las mencionadas, y lo más importante, con un profundo y original sabor a Shakespeare.

Kurzel se permite un estilo sobrio, reflexivo, contemplativo, contrario a la tendencia espectacular del mainstream, muy a la manera del cine ruso como el de Eisenstein o el de Tarkovski. Es un estilo sólido y congruente que se conserva de principio a fin, y resulta muy adecuado a la tragedia original, maridando deliciosamente con los vastos y fríos paisajes escoceses del medioevo. La fotografía es uno de las caras más notables de este diamante. No sólo los grandes planos secuencia (de nuevo Tarkovsky), sino, contrapunteando, los close-ups y las cámaras lentas de los detalles en ciertas escenas, entre otras cosas.

Las actuaciones son excelsas, por supuesto encabezándolas Michael Fassbender (Macbeth) y Marion Cotillard (Lady Macbeth) que hace un personaje a la altura dramática de ese otro inolvidable y  tan diferente como Edith Piaf en La Vie en Rose. La actuación de ambos encaja en el estilo contemplativo de toda la obra, y el espectador puede introducirse en los universos horrorosos de ambos personajes, y puede comprender la maquinaria de locura y de muerte que ambos construyen, movidos por los hilos de las brujas.

Aquí también cabe destacar a las brujas, quienes sorpresivamente aparecen acompañadas de una niña y un bebé. Y dentro del estilo sobrio, no presentan ninguna característica física que acentúe su sobrenaturaleza, como es usual. Su apariencia es la de cualquier grupo de mujeres campesinas. Su sobrenaturaleza consiste en el momento en que aparecen, y en la actitud de absoluto testimonio. Esta característica la comparten los fantasmas que se aparecen ante Macbeth, como unos personajes más en alguna concurrencia, casi sin destacarse, presentando si acaso sus heridas de muerte.

La tragedia es expuesta al máximo: la maquinaria de muerte construida por los Macbeth termina consumiéndolos. Fassbender y Cotillard forman una pareja impresionante dentro de un escenario inolvidable elaborado por un joven maestro. Tengo una gran inquietud por ver su próxima película, Assassin's Creed, en la que probablemente el trío Kurzel-Fassbender-Cotillard volverá a esculpir algo interesante, por lo menos. Veamos.


Sunday, November 29, 2015

Víctor Frankenstein, otra versión cinematográfica del mito.



Ayer fui a ver la nueva versión cinematográfica de Frankenstein, llamada Víctor Frankenstein, dirigida por el escocés Paul McGuigan y estelarizada por James McAvoy (Víctor) y Daniel Radcliffe (Igor). Para mí que soy un adorador del mito de Frankenstein y para quien la novela de Mary W. Shelley es el manantial desde donde brota la esencia de dicho mito, es inevitable mirar cualquier manifestación artística de este mito.

Esta película tiene todos los recursos de que dispone una producción (¿o superproducción?) del mainstream cinematográfico mundial. Plantea un énfasis casi total, como lo indica el título, en el personaje de Víctor Frankenstein. Ya esto es para mí una mutilación del mito, cuya principal característica radica en que se trata de un doble mito, centrado en dos seres que coexisten en la tragedia con la misma intensidad dramática, es decir, Frankenstein y la Criatura. Desde la primera hasta la última página de la novela de Mary W. Shelley la historia trágica se teje con estos dos hilos robustos. La tragedia deviene de esta coexistencia indisoluble.

Es cierto que antes de la creación del monstruo, su estado embrionario consiste en la materia muerta a la que Víctor quiere dotar de vida en su obsesión por vencer las leyes de la Naturaleza, y por lo cual Mary W. Shelley llamó a Frankenstein el Moderno Prometeo. La película narra todo este período previo a la creación y finaliza con esta. Así que aquí, la Criatura no pasa de ser un embrión y al final es una creación puramente violenta, en la que no se aprecia la conciencia. La tragedia del mito está cercenada, porque es precisamente la conciencia de la Criatura el motor de esta tragedia.

Asumiendo esta grave amputación, veamos pues a Víctor en su obsesión por animar la materia muerta. Esta es en efecto la motivación del personaje de la película, justificada por la muerte de un hermano mayor, llamado Henry, dentro de la alteración que hace el guión sobre la familia Frankenstein, respecto de la novela concebida por Mary W. Shelley. Es decir, la obsesión es rebajada a un terreno humano, pues el Víctor Frankenstein de la novela no necesita de parientes muertos que haya que revivir. Su obsesión es titánica, como la de Prometeo: es quitarle a los dioses o a la Naturaleza el derecho exclusivo de dotar vida. El director le indica al actor que haga a un obsesivo al borde de la locura y el resultado es una sobreactuación de McAvoy, a base de expresiones artificiales que enmascaran la obsesión más sutil y poderosa del personaje literario.

Otras sobreactuaciones están presentes: la del niño rico que financia el proyecto de Frankenstein, convirtiéndolo en algo que pudiera haber organizado la NASA, en vez de el hombre maniaco y solitario que tiene un proyecto íntimo. Pero también está la de Andrew Scott, que personifica un Sherlock Holmes católico, a manera de antagonista, quien llega al paroxismo de la sobreactuación con las expresiones faciales de sorpresa al llegar al castillo que ha explotado con una sobrecarga. Es lamentable, tratándose del actor que hizo un excelente Moriarty en la serie Sherlock, que entre otros fue dirigida por Paul McGuigan. (Pareciera que el director quiso llevarse la producción de Sherlock al mito de Frankenstein.)

La película tiene como co-protagonista a Igor, el asistente de Frankenstein que comenzó a aparecer por lo menos desde la película de 1931 y que se ha vuelto parte del estereotipo. Es la inserción de este personaje en el guión la que salva la pelicula, aunque Igor mismo no se salva del pandemonium (que pretende ser climático) previo al final anticlimático: el monstruo destruido (por lo menos lo hubieran dejado vivo y suelto), Frankenstein exiliado, prometiendo nuevas obsesiones (mundanas) e Igor y Lorelei felices con sus vestuarios elegantes que nadie sabe cuándo habrán de devolver, pues su estatus económico y social no está claramente resuelto. La actuación de Radcliffe, quien está logrando desprenderse de Harry Potter, es muy interesante al principio de la película y después cumple su papel mejor que McAvoy. Teniendo como referencia de nuevo la novela, Igor juega el papel de Henry, el amigo de Víctor, quien no participa mucho de la obsesión y el proyecto de él, lo cual muestra el grado de intimidad que tiene este proyecto para Víctor. Dicho sea de paso, en la novela Henry acaba siendo también asesinado por la Criatura.

Interesante y visual, es lo que me queda para calificar esta película, que por lo menos no llega a la mediocridad del churro de 2014, I, Frankenstein.




Tuesday, October 6, 2015

Jean Sibelius y el Cubo de Rubik

Hace dos días fui a un concierto de la OFUNAM. La atracción principal era el Concierto para piano no. 4 de Beethoven, con un brillante joven pianista chino, Haochen Zhang, pero tuve el agradable añadido de apreciar la Segunda sinfonía de Jean Sibelius, quien este año cumple los 150 años de nacido. Me topé en el programa de mano con un excepcional texto sobre dicha obra de Sibelius y el cubo de Rubik, de Roberto Ruiz Guadalajara, y lo reproduzco completo a continuación:



<<Todos sabemos que un cubo de Rubik, al igual que cualquier otro cubo "bien educado", tiene seis caras, cada una dividida en nueve pequeños cuadrados. Pero en él, cuando está "armado", cada cara es de un color distinto: rojo, azul, verde, amarillo, naranja y blanco. Gracias a un mecanismo giratorio los pequeños cuadrados pueden desplazarse a ocupar una cara distinta a la de su color original, en un proceso de descomposición del orden cromático inicial, en el que cada pequeño cuadrado puede combinarse sólo con algunos otros, pues cada uno de los cuadrados que están ubicados en las esquinas del cubo se encuentra irremediablemente unido a otros dos, formando en total ocho semicubos de tres caras, mientras que cada uno de los cuadrados que se encuentra en el extremo de cada una de las bandas centrales está inevitablemente casado con otro de un color diferente, formando un total de doce parejas, además de que en el centro de cada cara del cubo hay un cuadrado libre de transitar por la superficie del mismo sin estar "comprometido" con ningún otro cuadrado, pero eso sí, obligado siempre a ocupar el centro de cada cara, de tal manera que hay un cuadrado feliz por cada cara del cubo, lo que da un total de seis. De tal forma que ocho tríos de cuadrados, más doce parejas, más seis cuadrados solteros dan en total los cincuenta y cuatro cuadrados pequeños que uno tiene que ir acomodando y desacomodando hasta lograr que todos los de igual color habiten en perfecta armonía en la misma cara del cubo.

Si quisiéramos establecer una comparación entre el cubo de Rubik y los procesos que sigue Jean Sibelius para dar forma a su Segunda sinfonía, diríamos que Sibelius comienza su trabajo constructivo con un cubo desordenado en el que cada cuadrado es un pequeño motivo rítmico-melódico que puede ser simple (como los cuadrados solteros), o más complejo (como los cuadrados casados o los que viven en trío), a diferencia de lo que hace un compositor en una sinfonía tradicional, donde desde el principio presenta completos los temas con los que va a trabajar (sobre todo en el primer y último movimientos), y los va descomponiendo mostrando sus distintas posibilidades de elaboración o de combinación con otros temas (como si comenzara con un cubo "armado" y fuera separando y combinando sus componentes para crear nuevos diseños en cada cara, para al final regresar a la forma original). En cambio Sibelius parte de presentar los pequeños motivos (solteros, casados o en trío), para ir desarrollándolos y combinándolos a lo largo  de toda la sinfonía hasta llegar a la plena realización de la gran idea, que fue construyéndose paciente e inteligentemente a lo largo del proceso, al igual que al armar el cubo de Rubik poco a poco cada cara va alojando a todos y cada uno de los pequeños cuadrados que la conforman, hasta hacer surgir el gran cubo-melodía de seis colores en el que la individualidad de cada uno de los motivos encuentra su sentido en función del todo. El proceso abarca los cuatro movimientos de la obra, por lo que uno puede tener la sensación de que cada movimiento aislado suena inconcluso o no conduce a nada, salvo el último, que si se escucha por separado, produce el mismo efecto de llegar a una fiesta cuando ya todos están ebrios y cantando.

La práctica de utilizar pequeños motivos y sus transformaciones a manera de tabiques o módulos para construir una estructura que permita alcanzar una imagen final, encuentra antecedentes remotos en el tratado Sobre la música de San Agustín, en el que este define la música como "la ciencia del bien modular", que significa el conocimiento que permite medir bien, y por lo tanto pronunciar correctamente la sonoridad de las sílabas que forman las palabras para extraer de ellas su fuerza creadora, la misma que llevó a Dios a crear el mundo a partir del verbo. También está presente en las prácticas de los cabalistas medievales que permutaban las palabras de la Torá para encontrar el nombre de Dios. Y en tiempos más cercanos a Sibelius encontramos ejemplos muy claros en la Quinta sinfonía de Beethoven (en la que el motivo de cuatro sonidos con el que inicia se va transformando a lo largo de los cuatro movimientos), o en el Concierto para piano y orquesta no. 1 de Tchaikovsky, en el que al igual que en la Quinta de Beethoven, un motivo de cuatro sonidos pasa por todo tipo de vicisitudes a lo largo de la obra hasta alcanzar su apoteosis final.

No es gratuito evocar a San Agustín o a los cabalistas, que tan bien conocían el poder de las palabras, pues en el canto XVII del Kalevala, libro que tanto inspiró a Jean Sibelius, se narra cómo el viejo y sabio bardo Väinamöinen desciende a las entrañas del gigante Antero Vipunen, cuyo inmenso cuerpo yace en lo profundo de los bosques, buscano en él las palabras necesarias para construir el barco que le ha pedido en prenda la hija de la Dama de Pohjola para darle su mano. La Segunda sinfonía de Sibelius, es  como un enorme barco construido a lo largo de los tres primeros movimientos, y cuya estructura total sólo podemos contemplar al final de la obra antes de lanzarlo a las aguas misteriosas de la memoria. El mismo Sibelius dijo. "Es como si el Todopoderoso hubiera arrojado mosaicos del piso del cielo y me hubiera pedido que los armara.">>


Sunday, October 4, 2015

Una fórmula directa para los Números de Fibonacci

Los Números de Fibonacci son aquellos que se obtienen de la siguiente fórmula recursiva:
$$\begin{align}
x_0 &=1 \\
x_1 &=1 \\
x_{n+2} &=x_n+x_{n+1}
\end{align}$$
Esto significa que, considerando que los dos primeros números en la lista son \(1\) y \(1\), cada número se obtiene sumando los dos anteriores. Así que la lista comienza:
$$1,1,2,3,5,8,13,21,\dots$$
La fórmula anterior es recursiva porque arroja números en términos de otros números anteriores de la misma lista. Por supuesto es importante conocer los primeros dos números para obtener los sucesivos. Pero ¿existe una fórmula directa de los Números de Fibonacci? Con "fórmula directa" me refiero a una fórmula que nos diga cuál es el número de la lista que está en el lugar \(n\), y que dependa sólo de \(n\). La respuesta es afirmativa, y a continuación deduciré esta fórmula directa utilizando sobretodo el concepo de diagonalización de una matriz cuadrada.

Lo primero es escribir la fórmula recursiva de otra manera, usando el producto de matrices:
$$
\begin{pmatrix}
x_{n+1} \\ x_{n+2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_n \\ x_{n+1}
\end{pmatrix}
$$
Usando una notación más compacta:
$$V_{n+1}=AV_n $$
Esto es de nuevo una fórmula recursiva, con la ventaja de que puede obtenerse una fórmula más directa:
$$V_n=A^nV_0 $$
donde
$$V_0=
\begin{pmatrix}
0\\ 1
\end{pmatrix}
$$
Listo: esto nos daría una fórmula directa para el número \(x_n\) de la sucesión de Fibonacci. Pero hay un problema: necesitamos conocer la matriz \(A^n\). Para esto necesitamos también una fórmula directa. Y aquí es donde entra el concepto de diagonalización.

Se dice que una matriz cuadrada \(A\) es diagonalizable si existe una matriz invertible \(P\) tal que la matriz \(D=P^{-1}AP\) sea una matriz diagonal, es decir, una matriz que tiene todas sus entradas iguales a cero, excepto posiblemente en la diagonal principal. La teoría nos dice que de ser posible esto, las entradas de la diagonal son precisamente las raíces reales de su polinomio característico:
$$\det(xI-A)$$
Si estas raíces son distintas, siempre es posible llevar a cabo la diagonalización. Una vez que se tienen estos valores queda establecida la matriz diagonal \(D=PAP^{-1}\) y por tanto la matriz \(D^n\), que consta de las potencias \(n\)-ésimas de cada elemento de la diagonal de \(D\). Con esto puede obtenerse \(A^n\) como sigue:
$$A^n=(PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}$$
En nuestro caso, el polinomio característico de \( A=\big(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\big)\) es:
$$\det\begin{pmatrix} x & -1 \\ -1 & x-1 \end{pmatrix} =x(x-1)-1=x^2-x-1$$
cuyas raíces son los números:
$$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{ ,   } 1-\varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$
\(\varphi\) es el famoso número áureo o proporción áurea, que es la proporción entre los lados mayor y menor de un rectángulo áureo, aquel que tiene la propiedad de que al recortar un cuadrado queda otro rectángulo con la misma proporción entre sus lados:


En la figura, el rectángulo de lado mayor \(A+B\) y lado menor \(A\) es áureo, así como el rectángulo de lado mayor \(A\) y lado menor \(B\) si se cumple que:
$$\frac{A+B}{A}=\frac{A}{B}$$
En ese caso \(\varphi=\frac{A}{B}\) es el número áureo, que satisface por lo tanto que:
$$1+\frac{1}{\varphi}=\varphi$$
o lo que es lo mismo:
$$\varphi^2-\varphi-1=0$$
es decir, \(\varphi\) es la raíz positiva del polinomio
$$x^2-x-1=0$$
que es el polinomio característico de la matriz \(A\). La raíz negativa es precisamente \(1-\varphi\).

La teoría nos dice que podemos construir una matriz \(P\) invertible tal que \(P^{-1}AP\) es la matriz diagonal
$$D=\begin{pmatrix} \varphi & 0 \\ 0 & 1-\varphi \end{pmatrix}$$
El procedimiento consiste en encontrar vectores columna distintos de cero que sean cada uno solución respectivamente de los sistemas de ecuaciones:
$$\begin{pmatrix} -\varphi & 1 \\ 1 & 1-\varphi \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
y
$$\begin{pmatrix} \varphi-1 & 1 \\ 1 & \varphi \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Podemos considerar entonces como soluciones de estos respectivos sistemas a los vectores columna:
$$\begin{pmatrix} \varphi-1 \\ 1 \end{pmatrix} \text{  y  } \begin{pmatrix} -\varphi \\ 1 \end{pmatrix}$$
para construir la matriz
$$P=\begin{pmatrix} \varphi-1& -\varphi  \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
cuya matriz inversa es
$$P^{-1}=\frac{1}{2\varphi-1}\begin{pmatrix} 1& \varphi  \\ -1 & \varphi-1 \end{pmatrix}$$
es decir
$$PP^{-1}=P^{-1}P=\begin{pmatrix} 1& 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
En efecto, puede corroborarse que
$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \varphi & 0 \\ 0 & 1-\varphi \end{pmatrix}$$
Ahora obtengamos la enésima potencia de la matriz diagonal anterior:
$$D^n=\begin {pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (1-\varphi)^n \end{pmatrix} $$
Por tanto, podemos obtener:
$$A^n = \frac{1}{2\varphi-1} \begin{pmatrix}\varphi-1& -\varphi  \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin {pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (1-\varphi)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& \varphi  \\ -1 & \varphi-1 \end{pmatrix}$$
es decir, haciendo las cuentas:
$$A^n = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} (\varphi-1)\varphi^n+\varphi(1-\varphi)^n & (\varphi-1)\varphi^{n+1}+\varphi(1-\varphi)^{n+1} \\ \varphi^n-(1-\varphi)^n & \varphi^{n+1}-(1-\varphi)^{n+1} \end{pmatrix}$$
Sustituyendo en la fórmula
$$V_n=A^nV_0 $$
y considerando \(x_{n+1}\) obtenemos:
$$ x_{n+1}=\frac{\varphi^{n+1}-(1-\varphi)^{n+1}}{\sqrt{5}}$$
o bien, ¡ la fórmula directa para el término  \(x_n\) de la sucesión de Fibonacci !:
$$ x_n=\frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}$$


Tuesday, January 28, 2014

Retorno al Modelismo

Después de años que se pierden en la estela de la vida, regreso a uno de mis actividades favoritas: el modelismo. No recuerdo con precisión cuántos aviones y coches a escala armé cuando era niño, pero sé que fueron sólo unos cuantos, que quizás no hayan llegado a la decena, y sé también que la marca de estos modelos era Revell-Lodela. Ahora me estoy enterando de que Revell es una fábrica originalmente estadunidense (aunque por lo que se encuentra uno en Google parezca alemana, pero viendo bien su logotipo lleva los colores consabidos de la bandera de EUA), que Lodela era la compañía distribuidora en México, cuyo nombre es abreviatura de López de Lara, apellidos de un hombre considerado fundador del modelismo en México, y que la compañía se echó a perder porque los herederos de López de Lara no tenían la capacidad para sostenerla.

Este es el modelo que estoy armando:


Y es que los Mustang siempre me gustaron. Tal vez sea esa suave caída del techo hacia la parte trasera; o tal vez sea el caballo que tiene como símbolo. El caso es que lo preferí al Ferrari.

Parece que según la terminología moderna soy un multitasking: me gusta hacer varias cosas al mismo tiempo, pero no sólo me gusta, sino que lo necesito, porque de esa manera una actividad motiva a las otras. Así que, habiendo destinado un escritorio para dejar las piezas y herramientas listas para trabajar, estoy yendo a ese nicho de mi vida cuando me lo permiten las circunstancias, pintando y pegando unas pocas piezas al día, o cada tercer día. No llevo prisa, y como cada cosa que hago, me gusta saborear la actividad.

He encontrado que este armado minucioso requiere mucha paciencia, pero también que, puesto en el canal de la ausencia total de prisa, proporciona una calma deliciosa. Me gusta ir a la minuciosidad extrema, como si estuviera hundiéndome en un fractal, aprovechando mi miopía, que me permite sin lentes ver muy de cerca con claridad los detalles diminutos. Llego al grado de pintar con un alfiler.

Bendita miopía.

Sunday, August 25, 2013

El Teorema de Pitágoras: lo que afirma

Uno de los teoremas más famosos de las matemáticas es el Teorema de Pitágoras, cuya frase aprendemos de memoria en algún punto de la escuela:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

O usando letras escribimos la fórmula:
$$ a^2+b^2=c^2 $$
De la frase a la fórmula simplemente hay una representació,n por medio de las letras \(a,b,c\), de ambos catetos y de la hipotenusa. Pero ¿qué diantres son los catetos y la hipotenusa, teniendo nombres tan extraños? Sin saber esto, la frase o la fórmula no tienen ningún sentido, más que como trabalenguas. Digámoslo entonces de una buena vez: los catetos y la hipotenusa son simplemente nombres para designar a los tres lados de un triángulo rectángulo. Todo el mundo sabe lo que es un triángulo: simplemente es una figura plana que tiene tres lados. ¿Y un triángulo rectángulo? Pues es un triángulo en el cual uno de sus tres ángulos es recto. ¿Y qué es un ángulo recto? Es uno de los cuatro ángulos que se forman al intersectarse dos rectas precisamente cuando los cuatro son iguales entre sí.

Triángulos rectángulos puede haber muchos, con tal de que uno de los ángulos sea recto, pero en todos los casos siempre hay un lado mayor que los otros dos, que es justo el que está enfrente del ángulo recto. Ese lado es al que se le da el nombre de hipotenusa. Los otros dos lados restantes son los que se llaman catetos. Con esto ya sabemos de qué cosas habla la frase y a qué cosas se aplica.

En este punto es bueno destacar una cualidad de este teorema, como de muchos otros: la universalidad de su afirmación. Universalidad hasta cierto punto: se aplica a todos los triángulos, con tal de que sean rectángulos. Esto significa que no importan las longitudes de la hipotenusa y de los catetos; el teorema será verdadero en cualquier caso.

Ahora pasemos a la afirmación de la frase: se trata de una propiedad muy peculiar. Se refiere a una igualdad en la que intervienen no tanto los lados del triángulo, sino los cuadrados de los lados. Hablando de números, el cuadrado de un número es el número multiplicado por sí mismo. Pero sucede que en esta situación los números que intervienen representan los lados de un triángulo, así que sus cuadrados representan... ¡sí! los cuadrados (como figuras) que posan sobre los lados.

Con la figura anterior, el Teorema de Pitágoras cobra un sentido geométrico: lo que afirma simplemente es que el área encerrada en el cuadrado que está sobre la hipotenusa equivale al área sumada de los cuadrados que están sobre los catetos. La zona morada equivale exactamente a la zona naranja. Y esto vale para TODOS los triángulos rectángulos.

Hasta aquí queda claro lo que dice el Teorema de Pitágoras, pero debemos convencernos de ello: se necesita una demostración. Eso se tratará en la siguiente entrega.

Wednesday, August 21, 2013

Encuentro en Cuatro Actos

I

Costa fue mi compañera en la escuela secundaria y como suele suceder con los enamoramientos, cuando me di cuenta yo ya estaba enterrado hasta el cuello. Me fascinaba toda ella. El tono rubio de su cabello contrastaba con sus cejas y ojos tan oscuros. Su risa era estruendosa, casi ofensiva. Yo le seguía los pasos, cada vez más descaradamente, hasta que un buen día que yo me sentía radiante, estando sentados ante las mesas de un laboratorio, con varios compañeros de por medio, le pregunté si quería ser mi novia. Me dijo que lo iba a pensar. Al final de la jornada escolar se me acercó, con compañeras de por medio, y me dijo que ya lo había pensado, y que sí. Esa tarde me la pasé hipnotizado.

La noticia se difundió inmediatamente entre los compañeros de nuestra clase y otras más. Y es que era inconcebible que yo, el niño aplicado y retraído, me le hubiera declarado a una muchacha, y más todavía, que ella me hubiera dado el sí. Al día siguiente sentí que todos me veían distinto, incluso que yo había ganado cierto estatus.

Durante el recreo nos vimos y cruzamos juntos una diagonal del patio sin tocarnos. Yo sólo me atreví a preguntarle que si la podía abrazar. Al final de la jornada escolar se me acercó, con compañeras de por medio, y me dijo que mejor como amigos. Esa tarde me recosté en la cama de mi cuarto, miré al techo y sentí cómo las lágrimas de ambos ojos resbalaban hasta mis orejas.


II

En la escuela preparatoria y al principio de la universidad Martín y yo solíamos ir al cine. Él pasaba por mí a cierta esquina cercana a mi casa en su VW, y luego íbamos a ver una película de Goddard o de Fellini. Un día me tuve que subir en la parte trasera porque el asiento del copiloto estaba ocupado... por Costa. En los altos Martín le acariciaba la cabeza. Para entonces yo ya me había desenamorado, pero me intrigaba la situación. Así duraron algún tiempo juntos.


III

Años más tarde fui a una reunión en casa de Martín, en la Condesa. Ahí había dos mujeres embarazadas. A ambas las conocía yo de antes. Una de ellas era una ayudante de profesor que me había parecido bastante floja, en la Facultad. La otra... era Costa. Hablaban del curso psicoprofiláctico al que asistían juntas. Reían, destacando por supuesto la risa estruendosa de Costa. Los padres de ambos bebés estaban ausentes.


IV

Pasó mucho tiempo cuando en Barcelona me encontré con mi insoportable amigo Toni, de la preparatoria. Hallé su número en el directorio y quedamos de vernos en la Plaza Cataluña. Nos dio mucho gusto reencontrarnos y recordarnos. Casi inmediatamente me dijo que me tenía una sorpresa. Caminamos por las intrincadas calles de la parte medieval de la ciudad hasta la zona de bares, y en una pequeña plaza había un lugar decorado con motivos mexicanos. Entramos y en el fondo había una mujer fumando y atendiendo. Su risa era estruendosa, casi ofensiva. Era Costa. Nos abrazamos e intercambiamos algunas palabras. En algún momento entró una muchacha rubia a decirle algo. Era su hija, que yo había visto dentro de su vientre muchos años atrás. Toni y yo le dijimos que regresaríamos más tarde, después de caminar otro rato por las calles de la Barceloneta. Pasaron horas de larga plática entre Toni y yo. Se hizo tarde y nos despedimos, quedando de vernos algún otro día. Pero a lo de Costa ya no regresamos. Jamás la he vuelto a ver.