El Teorema de Pitágoras: lo que afirma

Uno de los teoremas más famosos de las matemáticas es el Teorema de Pitágoras, cuya frase aprendemos de memoria en algún punto de la escuela:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

O usando letras escribimos la fórmula:
$$ a^2+b^2=c^2 $$
De la frase a la fórmula simplemente hay una representació,n por medio de las letras \(a,b,c\), de ambos catetos y de la hipotenusa. Pero ¿qué diantres son los catetos y la hipotenusa, teniendo nombres tan extraños? Sin saber esto, la frase o la fórmula no tienen ningún sentido, más que como trabalenguas. Digámoslo entonces de una buena vez: los catetos y la hipotenusa son simplemente nombres para designar a los tres lados de un triángulo rectángulo. Todo el mundo sabe lo que es un triángulo: simplemente es una figura plana que tiene tres lados. ¿Y un triángulo rectángulo? Pues es un triángulo en el cual uno de sus tres ángulos es recto. ¿Y qué es un ángulo recto? Es uno de los cuatro ángulos que se forman al intersectarse dos rectas precisamente cuando los cuatro son iguales entre sí.

Triángulos rectángulos puede haber muchos, con tal de que uno de los ángulos sea recto, pero en todos los casos siempre hay un lado mayor que los otros dos, que es justo el que está enfrente del ángulo recto. Ese lado es al que se le da el nombre de hipotenusa. Los otros dos lados restantes son los que se llaman catetos. Con esto ya sabemos de qué cosas habla la frase y a qué cosas se aplica.

En este punto es bueno destacar una cualidad de este teorema, como de muchos otros: la universalidad de su afirmación. Universalidad hasta cierto punto: se aplica a todos los triángulos, con tal de que sean rectángulos. Esto significa que no importan las longitudes de la hipotenusa y de los catetos; el teorema será verdadero en cualquier caso.

Ahora pasemos a la afirmación de la frase: se trata de una propiedad muy peculiar. Se refiere a una igualdad en la que intervienen no tanto los lados del triángulo, sino los cuadrados de los lados. Hablando de números, el cuadrado de un número es el número multiplicado por sí mismo. Pero sucede que en esta situación los números que intervienen representan los lados de un triángulo, así que sus cuadrados representan... ¡sí! los cuadrados (como figuras) que posan sobre los lados.

Con la figura anterior, el Teorema de Pitágoras cobra un sentido geométrico: lo que afirma simplemente es que el área encerrada en el cuadrado que está sobre la hipotenusa equivale al área sumada de los cuadrados que están sobre los catetos. La zona morada equivale exactamente a la zona naranja. Y esto vale para TODOS los triángulos rectángulos.

Hasta aquí queda claro lo que dice el Teorema de Pitágoras, pero debemos convencernos de ello: se necesita una demostración. Eso se tratará en la siguiente entrega.