Tuesday, October 6, 2015

Jean Sibelius y el Cubo de Rubik

Hace dos días fui a un concierto de la OFUNAM. La atracción principal era el Concierto para piano no. 4 de Beethoven, con un brillante joven pianista chino, Haochen Zhang, pero tuve el agradable añadido de apreciar la Segunda sinfonía de Jean Sibelius, quien este año cumple los 150 años de nacido. Me topé en el programa de mano con un excepcional texto sobre dicha obra de Sibelius y el cubo de Rubik, de Roberto Ruiz Guadalajara, y lo reproduzco completo a continuación:



<<Todos sabemos que un cubo de Rubik, al igual que cualquier otro cubo "bien educado", tiene seis caras, cada una dividida en nueve pequeños cuadrados. Pero en él, cuando está "armado", cada cara es de un color distinto: rojo, azul, verde, amarillo, naranja y blanco. Gracias a un mecanismo giratorio los pequeños cuadrados pueden desplazarse a ocupar una cara distinta a la de su color original, en un proceso de descomposición del orden cromático inicial, en el que cada pequeño cuadrado puede combinarse sólo con algunos otros, pues cada uno de los cuadrados que están ubicados en las esquinas del cubo se encuentra irremediablemente unido a otros dos, formando en total ocho semicubos de tres caras, mientras que cada uno de los cuadrados que se encuentra en el extremo de cada una de las bandas centrales está inevitablemente casado con otro de un color diferente, formando un total de doce parejas, además de que en el centro de cada cara del cubo hay un cuadrado libre de transitar por la superficie del mismo sin estar "comprometido" con ningún otro cuadrado, pero eso sí, obligado siempre a ocupar el centro de cada cara, de tal manera que hay un cuadrado feliz por cada cara del cubo, lo que da un total de seis. De tal forma que ocho tríos de cuadrados, más doce parejas, más seis cuadrados solteros dan en total los cincuenta y cuatro cuadrados pequeños que uno tiene que ir acomodando y desacomodando hasta lograr que todos los de igual color habiten en perfecta armonía en la misma cara del cubo.

Si quisiéramos establecer una comparación entre el cubo de Rubik y los procesos que sigue Jean Sibelius para dar forma a su Segunda sinfonía, diríamos que Sibelius comienza su trabajo constructivo con un cubo desordenado en el que cada cuadrado es un pequeño motivo rítmico-melódico que puede ser simple (como los cuadrados solteros), o más complejo (como los cuadrados casados o los que viven en trío), a diferencia de lo que hace un compositor en una sinfonía tradicional, donde desde el principio presenta completos los temas con los que va a trabajar (sobre todo en el primer y último movimientos), y los va descomponiendo mostrando sus distintas posibilidades de elaboración o de combinación con otros temas (como si comenzara con un cubo "armado" y fuera separando y combinando sus componentes para crear nuevos diseños en cada cara, para al final regresar a la forma original). En cambio Sibelius parte de presentar los pequeños motivos (solteros, casados o en trío), para ir desarrollándolos y combinándolos a lo largo  de toda la sinfonía hasta llegar a la plena realización de la gran idea, que fue construyéndose paciente e inteligentemente a lo largo del proceso, al igual que al armar el cubo de Rubik poco a poco cada cara va alojando a todos y cada uno de los pequeños cuadrados que la conforman, hasta hacer surgir el gran cubo-melodía de seis colores en el que la individualidad de cada uno de los motivos encuentra su sentido en función del todo. El proceso abarca los cuatro movimientos de la obra, por lo que uno puede tener la sensación de que cada movimiento aislado suena inconcluso o no conduce a nada, salvo el último, que si se escucha por separado, produce el mismo efecto de llegar a una fiesta cuando ya todos están ebrios y cantando.

La práctica de utilizar pequeños motivos y sus transformaciones a manera de tabiques o módulos para construir una estructura que permita alcanzar una imagen final, encuentra antecedentes remotos en el tratado Sobre la música de San Agustín, en el que este define la música como "la ciencia del bien modular", que significa el conocimiento que permite medir bien, y por lo tanto pronunciar correctamente la sonoridad de las sílabas que forman las palabras para extraer de ellas su fuerza creadora, la misma que llevó a Dios a crear el mundo a partir del verbo. También está presente en las prácticas de los cabalistas medievales que permutaban las palabras de la Torá para encontrar el nombre de Dios. Y en tiempos más cercanos a Sibelius encontramos ejemplos muy claros en la Quinta sinfonía de Beethoven (en la que el motivo de cuatro sonidos con el que inicia se va transformando a lo largo de los cuatro movimientos), o en el Concierto para piano y orquesta no. 1 de Tchaikovsky, en el que al igual que en la Quinta de Beethoven, un motivo de cuatro sonidos pasa por todo tipo de vicisitudes a lo largo de la obra hasta alcanzar su apoteosis final.

No es gratuito evocar a San Agustín o a los cabalistas, que tan bien conocían el poder de las palabras, pues en el canto XVII del Kalevala, libro que tanto inspiró a Jean Sibelius, se narra cómo el viejo y sabio bardo Väinamöinen desciende a las entrañas del gigante Antero Vipunen, cuyo inmenso cuerpo yace en lo profundo de los bosques, buscano en él las palabras necesarias para construir el barco que le ha pedido en prenda la hija de la Dama de Pohjola para darle su mano. La Segunda sinfonía de Sibelius, es  como un enorme barco construido a lo largo de los tres primeros movimientos, y cuya estructura total sólo podemos contemplar al final de la obra antes de lanzarlo a las aguas misteriosas de la memoria. El mismo Sibelius dijo. "Es como si el Todopoderoso hubiera arrojado mosaicos del piso del cielo y me hubiera pedido que los armara.">>


Sunday, October 4, 2015

Una fórmula directa para los Números de Fibonacci

Los Números de Fibonacci son aquellos que se obtienen de la siguiente fórmula recursiva:
$$\begin{align}
x_0 &=1 \\
x_1 &=1 \\
x_{n+2} &=x_n+x_{n+1}
\end{align}$$
Esto significa que, considerando que los dos primeros números en la lista son \(1\) y \(1\), cada número se obtiene sumando los dos anteriores. Así que la lista comienza:
$$1,1,2,3,5,8,13,21,\dots$$
La fórmula anterior es recursiva porque arroja números en términos de otros números anteriores de la misma lista. Por supuesto es importante conocer los primeros dos números para obtener los sucesivos. Pero ¿existe una fórmula directa de los Números de Fibonacci? Con "fórmula directa" me refiero a una fórmula que nos diga cuál es el número de la lista que está en el lugar \(n\), y que dependa sólo de \(n\). La respuesta es afirmativa, y a continuación deduciré esta fórmula directa utilizando sobretodo el concepo de diagonalización de una matriz cuadrada.

Lo primero es escribir la fórmula recursiva de otra manera, usando el producto de matrices:
$$
\begin{pmatrix}
x_{n+1} \\ x_{n+2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_n \\ x_{n+1}
\end{pmatrix}
$$
Usando una notación más compacta:
$$V_{n+1}=AV_n $$
Esto es de nuevo una fórmula recursiva, con la ventaja de que puede obtenerse una fórmula más directa:
$$V_n=A^nV_0 $$
donde
$$V_0=
\begin{pmatrix}
0\\ 1
\end{pmatrix}
$$
Listo: esto nos daría una fórmula directa para el número \(x_n\) de la sucesión de Fibonacci. Pero hay un problema: necesitamos conocer la matriz \(A^n\). Para esto necesitamos también una fórmula directa. Y aquí es donde entra el concepto de diagonalización.

Se dice que una matriz cuadrada \(A\) es diagonalizable si existe una matriz invertible \(P\) tal que la matriz \(D=P^{-1}AP\) sea una matriz diagonal, es decir, una matriz que tiene todas sus entradas iguales a cero, excepto posiblemente en la diagonal principal. La teoría nos dice que de ser posible esto, las entradas de la diagonal son precisamente las raíces reales de su polinomio característico:
$$\det(xI-A)$$
Si estas raíces son distintas, siempre es posible llevar a cabo la diagonalización. Una vez que se tienen estos valores queda establecida la matriz diagonal \(D=PAP^{-1}\) y por tanto la matriz \(D^n\), que consta de las potencias \(n\)-ésimas de cada elemento de la diagonal de \(D\). Con esto puede obtenerse \(A^n\) como sigue:
$$A^n=(PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}$$
En nuestro caso, el polinomio característico de \( A=\big(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\big)\) es:
$$\det\begin{pmatrix} x & -1 \\ -1 & x-1 \end{pmatrix} =x(x-1)-1=x^2-x-1$$
cuyas raíces son los números:
$$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{ ,   } 1-\varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$
\(\varphi\) es el famoso número áureo o proporción áurea, que es la proporción entre los lados mayor y menor de un rectángulo áureo, aquel que tiene la propiedad de que al recortar un cuadrado queda otro rectángulo con la misma proporción entre sus lados:


En la figura, el rectángulo de lado mayor \(A+B\) y lado menor \(A\) es áureo, así como el rectángulo de lado mayor \(A\) y lado menor \(B\) si se cumple que:
$$\frac{A+B}{A}=\frac{A}{B}$$
En ese caso \(\varphi=\frac{A}{B}\) es el número áureo, que satisface por lo tanto que:
$$1+\frac{1}{\varphi}=\varphi$$
o lo que es lo mismo:
$$\varphi^2-\varphi-1=0$$
es decir, \(\varphi\) es la raíz positiva del polinomio
$$x^2-x-1=0$$
que es el polinomio característico de la matriz \(A\). La raíz negativa es precisamente \(1-\varphi\).

La teoría nos dice que podemos construir una matriz \(P\) invertible tal que \(P^{-1}AP\) es la matriz diagonal
$$D=\begin{pmatrix} \varphi & 0 \\ 0 & 1-\varphi \end{pmatrix}$$
El procedimiento consiste en encontrar vectores columna distintos de cero que sean cada uno solución respectivamente de los sistemas de ecuaciones:
$$\begin{pmatrix} -\varphi & 1 \\ 1 & 1-\varphi \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
y
$$\begin{pmatrix} \varphi-1 & 1 \\ 1 & \varphi \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Podemos considerar entonces como soluciones de estos respectivos sistemas a los vectores columna:
$$\begin{pmatrix} \varphi-1 \\ 1 \end{pmatrix} \text{  y  } \begin{pmatrix} -\varphi \\ 1 \end{pmatrix}$$
para construir la matriz
$$P=\begin{pmatrix} \varphi-1& -\varphi  \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
cuya matriz inversa es
$$P^{-1}=\frac{1}{2\varphi-1}\begin{pmatrix} 1& \varphi  \\ -1 & \varphi-1 \end{pmatrix}$$
es decir
$$PP^{-1}=P^{-1}P=\begin{pmatrix} 1& 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
En efecto, puede corroborarse que
$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \varphi & 0 \\ 0 & 1-\varphi \end{pmatrix}$$
Ahora obtengamos la enésima potencia de la matriz diagonal anterior:
$$D^n=\begin {pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (1-\varphi)^n \end{pmatrix} $$
Por tanto, podemos obtener:
$$A^n = \frac{1}{2\varphi-1} \begin{pmatrix}\varphi-1& -\varphi  \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin {pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (1-\varphi)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& \varphi  \\ -1 & \varphi-1 \end{pmatrix}$$
es decir, haciendo las cuentas:
$$A^n = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} (\varphi-1)\varphi^n+\varphi(1-\varphi)^n & (\varphi-1)\varphi^{n+1}+\varphi(1-\varphi)^{n+1} \\ \varphi^n-(1-\varphi)^n & \varphi^{n+1}-(1-\varphi)^{n+1} \end{pmatrix}$$
Sustituyendo en la fórmula
$$V_n=A^nV_0 $$
y considerando \(x_{n+1}\) obtenemos:
$$ x_{n+1}=\frac{\varphi^{n+1}-(1-\varphi)^{n+1}}{\sqrt{5}}$$
o bien, ¡ la fórmula directa para el término  \(x_n\) de la sucesión de Fibonacci !:
$$ x_n=\frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}$$